Question

10．下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸）標準煤的幾組對照數據：

x	3	4	5	6	7	8
y	2.5	3	4	4.5	5.22	5.97

（1）請根據上表提供的前四列數據（對應的x=3，4，5，6），用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（2）在誤差不超過0.05的條件下，利用x=7時，x=8來檢驗（1）所求回歸直線是否合適；
（3）已知該廠技術改造前100噸甲產品能耗為90噸標準煤，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低多少噸標準煤？
（參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根據表格分別求出x，y的平均數，求出系數$\widehat$，$\widehat{a}$的值，求出回歸方程即可；
（2）分別將x=7，8代入方程求出結果判斷即可；
（3）將x的值代入解析式計算即可．

解答 解：（1）$\overline{x}$=4.5；$\overline{y}$=3.5
$\stackrel{∧}$=$\frac{3.5}{5}$=0.7，$\widehat{a}$=0.35，
所以$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35，
（2）由（1）可知，
當x=7時，y=5.25，5.25-5.22=0.03＜0.05
 當x=8時，y=5.95，5.97-5.95=0.02＜0.05
 所以，此回歸直線符合條件；
（3）由（1）可知，當x=100時，y=70.35（噸）
 所以，降低了90-70.35=19.65噸．

點評 本題考查了回歸方程問題以及回歸方程的應用，考查計算能力，是一道中檔題．