Question

7．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為橢圓上一點，且PF₁⊥PF₂，若△PF₁F₂的面積為9，則b=3．

Answer 1

分析 通過橢圓定義知丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，由PF₁⊥PF₂，可知∴（丨PF₁丨）²+（丨PF₂丨）²=（2c）²，利用△PF₁F₂的面積為9可得$\frac{1}{2}$•丨PF₁丨•丨PF₂丨=9，則（2a）²=（丨PF₁丨+丨PF₂丨）²=（丨PF₁丨）²+（丨PF₂丨）²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨，代入計算即可．

解答 解：根據橢圓定義知丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，由PF₁⊥PF₂，
∴△PF₁F₂為直角三角形，
∴（丨PF₁丨）²+（丨PF₂丨）²=（2c）²，
又∵△PF₁F₂的面積為9，
∴$\frac{1}{2}$•丨PF₁丨•丨PF₂丨=9，
∴（2a）²=（丨PF₁丨+丨PF₂丨）²
=（丨PF₁丨）²+（丨PF₂丨）²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨，
=4c²+36，
∴b²=a²-c²=9，
∴b=3，
故答案為：3．

點評 本題考查橢圓定義、直角三角形的面積及勾股定理等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．