Question

19．點M（x，y）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，則點M到直線x+y-4=0的距離的最大值為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設P點坐標是（2$\sqrt{3}$cosα，2sinα），（0°≤α＜360°），點P到直線x+y-4=0的距離d公式，利用三角函數的有界性求出點P到直線x+y-4=0的距離的最大值．

解答 解：可設P點坐標是（2$\sqrt{3}$cosα，2sinα），（0°≤α＜360°）
∴點P到直線x+y-4=0的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα+2sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|4sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴d_max=4$\sqrt{2}$．當且僅當sin（$α+\frac{π}{3}$）=-1時，取得最大值．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，解題時要認真審題，注意橢圓的參數方程、點到直線的距離公式、三角函數的性質的靈活運用．