Question

10．當n≥2，n∈N^*時，求證：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 先驗證n=1不等式成立，假設n=k時不等式成立，推導n=k+1不等式成立即可．

解答 證明：（1）當n=2時，左邊=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右邊=$\sqrt{2}$，等式成立．
（2）假設當n=k（k≥2且k∈N^*）不等式成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞$\sqrt{k}$，
當n=k+1時，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{\sqrt{k•k}+1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$，
∴當n=k+1時，不等式也成立．
∴對n≥2，n∈N^*時，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$．

點評 本題考查了數學歸納法證明，屬于基礎題．