A. | 5+2$\sqrt{6}$ | B. | 4$\sqrt{3}$ | C. | 8$\sqrt{3}$ | D. | 7+4$\sqrt{3}$ |
分析 由sinx+$\sqrt{3}$cosx=b,可得:2$sin(x+\frac{π}{3})$=b.存在正數b,使得方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根從小到大排成一個等差數列,即有0<b≤2.經過討論可得:b=2,即有x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,即為x=2kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z.點P(6,2)在直線直線nx+my-2mn=0上(m,n均為正常數),可得:$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=1.再利用基本不等式的性質即可得出.
解答 解:由sinx+$\sqrt{3}$cosx=b,可得:2$sin(x+\frac{π}{3})$=b
存在正數b,使得方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根從小到大排成一個等差數列,
即有0<b≤2.
若0<b<2,由y=sin(x+$\frac{π}{3}$)的圖象可得:直線y=b與函數y=2sin(x+$\frac{π}{3}$)的圖象的交點的橫坐標不成等差數列,若b=2,即有x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,即為x=2kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
可得所有正根從小到大排成一個等差數列,公差為2π.
由點P(6,2)在直線直線nx+my-2mn=0上(m,n均為正常數),∴6n+2m-2mn=0,化為:$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=1.
則m+4n=(m+4n)$(\frac{3}{m}+\frac{1}{n})$=7+$\frac{12n}{m}+\frac{m}{n}$≥7+2$\sqrt{\frac{12n}{m}×\frac{m}{n}}$=7+4$\sqrt{3}$,當且僅當m=2$\sqrt{3}$n=3+2$\sqrt{3}$時取等號.
故選:D.
點評 本題考查了三角函數和差公式、等差數列的通項公式、基本不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{8}{45}$ | C. | $\frac{4}{5}$ | D. | $\frac{8}{9}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | c<b<a | B. | a<b<c | C. | c<a<b | D. | a<c<b |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 0個 | B. | 1個 | C. | 2個 | D. | 3個 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | -454 | B. | -450 | C. | -446 | D. | -442 |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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