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5.存在正實數b使得關于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根從小到大排成一個等差數列,若點P(6,b)在直線nx+my-2mn=0上(m,n均為正常數),則m+4n的最小值為(  )
A.5+2$\sqrt{6}$B.4$\sqrt{3}$C.8$\sqrt{3}$D.7+4$\sqrt{3}$

分析 由sinx+$\sqrt{3}$cosx=b,可得:2$sin(x+\frac{π}{3})$=b.存在正數b,使得方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根從小到大排成一個等差數列,即有0<b≤2.經過討論可得:b=2,即有x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,即為x=2kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z.點P(6,2)在直線直線nx+my-2mn=0上(m,n均為正常數),可得:$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=1.再利用基本不等式的性質即可得出.

解答 解:由sinx+$\sqrt{3}$cosx=b,可得:2$sin(x+\frac{π}{3})$=b
存在正數b,使得方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根從小到大排成一個等差數列,
即有0<b≤2.
若0<b<2,由y=sin(x+$\frac{π}{3}$)的圖象可得:直線y=b與函數y=2sin(x+$\frac{π}{3}$)的圖象的交點的橫坐標不成等差數列,若b=2,即有x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,即為x=2kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
可得所有正根從小到大排成一個等差數列,公差為2π.
由點P(6,2)在直線直線nx+my-2mn=0上(m,n均為正常數),∴6n+2m-2mn=0,化為:$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=1.
則m+4n=(m+4n)$(\frac{3}{m}+\frac{1}{n})$=7+$\frac{12n}{m}+\frac{m}{n}$≥7+2$\sqrt{\frac{12n}{m}×\frac{m}{n}}$=7+4$\sqrt{3}$,當且僅當m=2$\sqrt{3}$n=3+2$\sqrt{3}$時取等號.
故選:D.

點評 本題考查了三角函數和差公式、等差數列的通項公式、基本不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
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