Question

14．已知數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，數列{b_n}滿足關系$\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+$$…+\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2^n}$，數列{b_n}的前n項和為S_n，則S₅的值為（　　）

• A． -454
• B． -450
• C． -446
• D． -442

Answer 1

分析 數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，可得a_n=2n-1．數列{b_n}滿足關系$\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+$$…+\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2^n}$，n≥2時，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，可得：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，可得b_n=（1-2n）•2ⁿ．n=1時，可得b₁，即可得出．

解答 解：數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
數列{b_n}滿足關系$\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+$$…+\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2^n}$，
∴n≥2時，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
可得：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，可得b_n=（1-2n）•2ⁿ．
n=1時，$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，解得b₁=2．
S₅=2-3×2²-5×2³-7×2⁴-9×2⁵=-450．
故選：B．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、數列遞推關系、數列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．