Question

17．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|2+lnx|，x＞0\\-{x^2}-2x+1，x≤0\end{array}\right.$存在互不相等實數a，b，c，d，有f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m．現給出三個結論：
（1）m∈[1，2）；
（2）a+b+c+d∈[e^-3+e^-1-2，e^-4-1），其中e為自然對數的底數；
（3）關于x的方程f（x）=x+m恰有三個不等實根．
正確結論的個數為（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 由題意畫出函數y=f（x）的圖象，數形結合逐一分析三個結論得答案．

解答 解：作出函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|2+lnx|，x＞0\\-{x^2}-2x+1，x≤0\end{array}\right.$的圖象如圖，

若直線y=m與函數y=f（x）的圖象相交于四個不同的點，由圖可知m∈[1，2），
故（1）正確；
設y=m與函數y=f（x）的交點自左至右依次為a，b，c，d，
由-2-lnx=1，得x=e^-3，由-2-lnx=2，得x=e^-4，
∴c∈（e^-4，e^-3]，
又-2-lnc=2+lnd，∴cd=e^-4，
∴a+b+c+d=-2+c+$\frac{{e}^{-4}}{c}$在（e^-4，e^-3]上是遞減函數，
∴a+b+c+d∈[e^-3+e^-1-2，e^-4-1），
故（2）正確；
設斜率為1的直線與y=lnx+2相切于（x₀，lnx₀+2），
則由$\frac{1}{{x}_{0}}=1$，可得x₀=1，則切點為（1，2），
此時直線方程為y-2=1×（x-1），即y=x+1，
∴當m=1時，直線y=x+m與函數y=f（x）有4個不同交點，即關于x的方程f（x）=x+m有四個不等實根，
故（3）錯誤．
∴正確結論的個數是2個．
故選：C．

點評 本題考查函數的圖象，分段函數，零點與方程的根之間的關系，綜合性較強，是難題．