Question

已知函數f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx，x∈[

π

4

，

π

2

]
（1）求f（x）最小值
（2）求f（x）的單減區間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）先對三角關系式進行恒等變換，進一步求出正弦型函數的關系式，最后利用三角函數的定義域求出三角函數的值域．
（2）利用（1）的結論，進一步利用整體思想求出函數的單調區間．

解答： 解：（1）函數f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx=4

3

cos2x-2sin2x+

3

=4cos（2x+

π

6

）+3

3

由于

π

4

＜x＜

π

2

則：

2π

3

＜2x+

π

6

＜

7π

6

則：-1≤cos(2x+

π

6

)＜-

1

2

進一步求出：3

3

-4≤4cos(2x+

π

6

)+3

3

＜3

3

-2
即：3

3

-4≤f(x)＜3

3

-2
所以函數f(x)min=3

3

-4
（2）利用（1）f（x）=4cos（2x+

π

6

）+3

3

令：2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π（k∈Z）
解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）
所以函數的單調遞減區間為：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的單調區間，利用正弦型函數的定義域求函數的值域．屬于基礎題型．