Question

設M是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的一點，F₁，F₂為焦點，∠F₁MF₂=

π

6

，則△MF₁F₂的面積為（　　）

• A、

  16

  3

  3

• B、16(2+

  3

  )
• C、16(2-

  3

  )
• D、16

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據橢圓的定義和余弦定理建立關于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF₁|•|PF₂|，結合三角形的面積公式，可得△MF₁F₂的面積

解答： 解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1上的一點，F₁，F₂為焦點，∠F₁MF₂=

π

6

，
∴a²=25，b²=16，可得c²=a²-b²=9，即a=5，c=3，
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則有m+n=10，
∵∠F₁MF₂=

π

6

，
∴36=m²+n²-2mncos

π

6

∵（m+n）²=m²+n²+2mn，
∴mn=

64

2+ 3

，
∴|PF₁|•|PF₂|=

64

2+ 3

．
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin

π

6

=

1

2

•

64

2+ 3

•

1

2

=16（2-

3

）．
故選：C．

點評：本題給出橢圓的焦點三角形，求它的面積，著重考查了余弦定理、橢圓的定義和簡單幾何性質等知識．