Question

關于x的不等式|tx-2|-|tx-t|≤1，其中t是實參數．
（1）當t=1時，解上面的不等式．
（2）若?x∈R，上面的不等式均成立，求實數t的范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）當t=1時，利用絕對值不等式性質可得|x-2|-|x-1|≤|（x-2）-（x-1）|=1恒成立，從而可得x∈R；
（2）利用絕對值不等式的幾何意義知，|tx-2|-|tx-t|≤|（tx-2）-（tx-t）|=|t-2|，依題意，解不等式|t-2|≤1，即可求得實數t的范圍．

解答： 解：（1）當t=1時，|tx-2|-|tx-t|=|x-2|-|x-1|≤|（x-2）-（x-1）|=1恒成立，故x∈R；
（2）因為|tx-2|-|tx-t|≤|（tx-2）-（tx-t）|=|t-2|，
所以，?x∈R，上面的不等式均成立?|t-2|≤1，解得1≤t≤3，
所以實數t的取值范圍為[1，3]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查等價轉化思想與恒成立問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．