Question

已知函數(shù)f（x）為[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)，求證：方程f（x）=0在[a，b]上至多有一個實數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：推理和證明

分析：直接利用反證法的證明方法，從結(jié)論的否定，推出與條件矛盾的結(jié)果即可．

解答： 證明：假設(shè)f（x）=0在[a，b]上有兩個不等實根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x）=f（x₁）=0…（6分）
∵f（x）在[a，b]上為單調(diào)增函數(shù)．
∴f（x₁）＜f（x₂）與f（x₁）=f（x₂）矛盾
∴假設(shè)不成立
故f（x）=0在[a，b]上至多為一個實數(shù)根．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查反證法證明命題的方法，注意結(jié)論的否定形式，推導(dǎo)過程的必須正確．推出矛盾是解題的關(guān)鍵．