Question

己知圓C：x²+（y-2）²=5，直線(xiàn)l：mx-y+1=0．
（1）求證：對(duì)m∈R，直線(xiàn)l與該圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與圓C交與A、B兩點(diǎn)，且|AB|=

19

，求該直線(xiàn)的斜率；
（3）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）只要證明圓心C到直線(xiàn)l的距離d＜r即可；
（2）利用d²+(

1

2

|AB|)2=r²，解出即可；
（3）設(shè)弦AB的中點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線(xiàn)l的方程與圓的方程聯(lián)立可得（1+m²）x²-2mx-4=0，可得x₁+x₂=

2m

1+m2

=2x，得到x=

m

1+m2

，
又y=mx+1，消去m即可得出．

解答： （1）證明：圓C：x²+（y-2）²=5，可得圓心C（0，2），半徑r=

5

．∴圓心C到直線(xiàn)l的距離d=

|-2+1|

m2+1

≤1＜

5

=r，因此對(duì)m∈R，直線(xiàn)l與該圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
（2）解：∵d²+(

1

2

|AB|)2=r²，∴

1

m2+1

+

19

4

=5，解得m²=3，∴m=±

3

．
∴該直線(xiàn)的斜率k=±

3

．
（3）解：設(shè)弦AB的中點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

mx-y+1=0 x2+(y-2)2=5

，化為（1+m²）x²-2mx-4=0，
可得x₁+x₂=

2m

1+m2

=2x，得到x=

m

1+m2

，
又y=mx+1，∴m=

y-1

x

(x≠0)，代入上述方程可得x=

y-1 x

1+( y-1 x )2

，化為x2+(y-

3

2

)2=

1

4

，x=0時(shí)也滿(mǎn)足．
∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-

3

2

)2=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與圓相交問(wèn)題、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、弦長(zhǎng)公式、參數(shù)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．