Question

已知：△ABC中，

sinA

sinC

=

sin(A-B)

sin(B-C)

，求證：2b²=a²+c²．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：證明題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：運(yùn)用誘導(dǎo)公式，將原等式化為sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），再運(yùn)用公式：sin（α-β）sin（α+β）=sin²α-sin²β，結(jié)合正弦定理，化簡即可得到．

解答： 證明：由

sinA

sinC

=

sin(A-B)

sin(B-C)

，
即有sinAsin（B-C）=sinCsin（A-B），
即sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），
由于sin（α-β）sin（α+β）=（sinαcosβ-cosαsinβ）（sinαcosβ+cosαsinβ）
=sin²αcos²β-cos²αsin²β=sin²α（1-sin²β）-（1-sin²α）sin²β
=sin²α-sin²β，
則有sin²B-sin²C=sin²A-sin²B，
則2sin²B=sin²C+sin²A，
由正弦定理，可得，

2b2

4R2

=

c2

4R2

+

a2

4R2

，
則有，2b²=a²+c²．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．