Question

某學校舉行聯歡會，所有參演的節目都由甲、乙、丙三名專業老師投票決定是否獲獎，甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張，每個節目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為

1

3

，且三人投票相互沒有影響，若投票結果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節目最終獲一等獎；否則，該節目不能獲一等獎．
（1）求某節目的投票結果是最終獲一等獎的概率；
（2）求該節目投票結果中所含“獲獎”和“待定”票票數之和X的分布列及數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）設“某節目的投票結果是最終獲一等獎”為事件A，則事件A包含該節目可以獲2張“獲獎票”或該節目可以獲3張“獲獎票”，由此能求出某節目的投票結果是最終獲一等獎的概率．
（2）所含“獲獎”和“待定”票數之和X的值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數學期望．

解答： 解：（1）設“某節目的投票結果是最終獲一等獎”為事件A，
則事件A包含該節目可以獲2張“獲獎票”或該節目可以獲3張“獲獎票”，
∵甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為

1

3

，
且三人投票相互沒有影響，
∴某節目的投票結果是最終獲一等獎的概率：
P（A）=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)+

C

3 3

(

1

3

)3=

7

27

．
（2）所含“獲獎”和“待定”票數之和X的值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C

0 3

(

1

3

)3=

1

27

，
P（X=1）=

C

1 3

(

2

3

)(

1

3

)2=

6

27

，
P（X=2）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

12

27

，
P（X=3）=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

E（X）=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．