Question

20．已知直線y=x+a與曲線$y=\sqrt{2-{x^2}}$的兩個不同的交點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-2，2）
• B． （0，2）
• C． $（{\sqrt{2}，2}）$
• D． $[{\sqrt{2}，2}）$

Answer 1

分析 根據直線和圓的位置關系即可得到結論．利用特殊位置進行研究即可．

解答 解：曲線$y=\sqrt{2-{x^2}}$線是以（0，0）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑位于x軸上方的半圓．
當直線l過點A（-$\sqrt{2}$，0）時，直線l與曲線有兩個不同的交點，
此時0=-$\sqrt{2}$+a，解得a=$\sqrt{2}$．
當直線l與曲線相切時，直線和圓有一個交點，
圓心（0，0）到直線x-y+a=0的距離d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$
解得a=2或-2（舍去），
若曲線C和直線l有且僅有兩個不同的交點，
則直線l夾在兩條直線之間，
因此$\sqrt{2}$≤a＜2，
故選D．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，考查點到直線的距離公式的運用，考查學生的計算能力．