Question

16．等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$求a₁與q．

Answer 1

分析 由題意可知當q≠1時，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}•{q}^{2}={a}_{3}}\\{\frac{{a}_{1}-{a}_{3}q}{1-q}={S}_{3}}\end{array}\right.$，代入即可求得a₁和q的值，當q=1時，則a₁=a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=3a₁=$\frac{9}{2}$，滿足，故當q=1時，成立，即可求得a₁與q．

解答 解：由題意可知：等比數列{a_n}首項為a₁，公比為q，
由題意可知：當q≠1時，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}•{q}^{2}={a}_{3}}\\{\frac{{a}_{1}-{a}_{3}q}{1-q}={S}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=\frac{3}{2}}\\{\frac{{a}_{1}-\frac{3}{2}q}{1-q}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
整理得：2q³-3q²+1=0，即（q-1）²（2q+1）=0，
解得：q=1（舍去）或q=-$\frac{1}{2}$，
∴當q=-$\frac{1}{2}$，解得：a₁=6，
當q=1時，則a₁=a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=3a₁=$\frac{9}{2}$，滿足，故當q=1時，成立，
∴a₁=$\frac{3}{2}$，q=1，或q=-$\frac{1}{2}$，a₁=6．

點評 本題考查等比數列的前n項和公式的應用，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于中檔題．