Question

5．在平面直角坐標系xOy中，直線3x-y+$\sqrt{5}$=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為$\sqrt{14}$
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于點D、E，當DE長最小時，求直線l的方程；
（3）設M、P是圓O上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交x軸于點（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點O到直線3x-y+$\sqrt{5}$=0的距離d，求出圓O的半徑r，寫出圓O的方程；
（2）寫出直線l的方程，由d=r以及基本不等式求出DE²取最小值時對應的方程；
（3）設出點M、P，根據對稱性寫出點N，利用圓的方程表示出直線MP、
NP與x軸的交點坐標，得出m、n的值，計算mn即可．

解答 解：（1）因為點O到直線3x-y+$\sqrt{5}$=0的距離為
d=$\frac{|3×0-1×0+\sqrt{5}|}{\sqrt{{3}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
所以圓O的半徑為r=$\sqrt{{（\frac{1}{\sqrt{2}}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{14}}{2}）}^{2}}$=2；…（2分）
故圓O的方程為x²+y²=4；…（4分）
（2）設直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），
即bx+ay-ab=0；
由已知$\frac{|0+0-ab|}{\sqrt{{b}^{2}{+a}^{2}}}$=2，
即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{4}$；…（6分）
所以DE²=a²+b²
=4（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）
=4（2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥16；   …（9分）
當且僅當a=b=2$\sqrt{2}$時取等號，
此時直線l的方程為x+y-2$\sqrt{2}$=0；…（10分）
（3）設點M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
則N（x₁，-y₁），且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=4${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4，
直線MP與x軸交點為（$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{-y}_{1}}$，0），
則m=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{-y}_{1}}$；  …（12分）
直線NP與x軸交點為（$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$，0），
則n=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$．…（14分）
所以mn=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{1}{-y}_{2}}$•$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$
=$\frac{{{{{x}_{1}}^{2}y}_{2}}^{2}{{{{-x}_{2}}^{2}}_{{y}_{1}}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}$
=$\frac{（4{{-y}_{1}}^{2}{{）y}_{2}}^{2}-（4{{-y}_{2}}^{2}{{）y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}$=4，
故mn為定值4．…（16分）

點評 本題考查了直線與圓位置關系的應用問題，也考查了點到直線距離的應用問題以及求最值的應用問題，是綜合性題目．