Question

6．已知函數f（x）=x²+$\sqrt{2}$（m-1）x+$\frac{m}{4}$，現有一組數據（該組數據數量龐大），從中隨機抽取10個，繪制所得的莖葉圖如圖所示，且莖葉圖中的數據的平均數為2．
（1）現從莖葉圖中的數據中任取4個數據分別替換m的值，求至少有2個數據使得函數f（x）沒有零點的概率；
（2）以頻率估計概率，若從該組數據中隨機抽取4個數據分別替換m的值，記使得函數f（x）沒有零點的個數為?，求?的分布列以及數學期望、方差．

Answer 1

分析 （1）根據平均數求出a，根據二次函數的性質求出f（x）無零點的條件，利用超幾何分布的概率計算公式計算；
（2）按照超幾何分布依次計算概率，得出分布列，代入公式計算數學期望和方差．

解答 解：（1）∵莖葉圖中的數據的平均數為2，
∴0.3+$\frac{a}{10}$+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5=2×10，解得a=7，
若要是f（x）無零點，則△=2（m-1）²-m＜0，解得0.5＜m＜2．
而莖葉圖中的10個數據中只有4個符合條件，
故而至少有2個數據使得函數f（x）沒有零點的概率P=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{6}^{2}{+C}_{4}^{3}•{C}_{6}^{1}{+C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{25}{42}$．
（2）?的可能取值為0，1，2，3，4，顯然?服從超幾何分布，其中N=10，M=4，n=4，
則P（?=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，P（?=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{8}{21}$，P（?=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{3}{7}$，P（?=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，P（?=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$．
∴?的分布列為：

?	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{8}{21}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{1}{210}$

∴E（?）=$\frac{4}{10}×4$=$\frac{8}{5}$．
D（?）=$\frac{4×4×（10-4）（10-4）}{1{0}^{2}×（10-1）}$=$\frac{16}{25}$．

點評 本題考查了莖葉圖，離散型隨機變量的數學期望和方差，超幾何分布，屬于中檔題．