Question

15．已知三棱錐S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜邊AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，則三棱錐的外接球的表面積為（　　）

• A． 64π
• B． 68π
• C． 72π
• D． 100π

Answer 1

分析 直角三角形ABC的外接圓的圓心為AB中點D，過D作面ABC的垂線，球心O在該垂線上，
過O作球的弦SC的垂線，垂足為E，則E為SC中點，球半徑R=OS=$\sqrt{O{E}^{2}+S{E}^{2}}=\sqrt{C{D}^{2}+S{E}^{2}}$即可求出半徑．

解答 解：如圖所示，直角三角形ABC的外接圓的圓心為AB中點D，
過D作面ABC的垂線，球心O在該垂線上，
過O作球的弦SC的垂線，垂足為E，則E為SC中點，
球半徑R=OS=$\sqrt{O{E}^{2}+S{E}^{2}}=\sqrt{C{D}^{2}+S{E}^{2}}$
∵$CD=\frac{1}{2}AB=4$，SE=3，∴R=5
棱錐的外接球的表面積為4πR²=100π，
故選：D

點評 本題考查了球的內接三棱錐，解題的關鍵是找到數量關系，求出球半徑，屬于中檔題．