Question

20．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體（如圖）：面ABCD為矩形，棱EF∥AB．若此幾何體中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為（　　）

• A． $8\sqrt{3}$
• B． $8+8\sqrt{3}$
• C． $6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
• D． $8+6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用勾股定理求出梯形ABFE的高，再計算出各個面的面積即可得出表面積．

解答 解：過F作FO⊥平面ABCD，垂足為O，取BC的中點P，連結PF，
過F作FQ⊥AB，垂足為Q，連結OQ．
∵△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，
∴OP=$\frac{1}{2}$（AB-EF）=1，PF=$\sqrt{3}$，OQ=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴OF=$\sqrt{P{F}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{2}$，FQ=$\sqrt{O{F}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_梯形EFBA=S_梯形EFCB=$\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
又S_△BCF=S_△ADE=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，S_矩形ABCD=4×2=8，
∴幾何體的表面積S=3$\sqrt{3}×2$+$\sqrt{3}×2$+8=8+8$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了線面距離的計算，多面體表面積計算，屬于中檔題．