Question

5．設直線3x-4y+5=0的傾斜角為α．
（1）求tan2α的值；
（2）求$cos（{\frac{π}{6}-α}）$的值．

Answer 1

分析 （1）求出傾斜角的正切函數值，利用二倍角的正切函數公式即可計算得解．
（2）利用同角三角函數的基本關系式求解sinα，cosα的值，進而利用兩角差的余弦函數公式即可計算得解．

解答 解：（1）直線3x-4y+5=0的傾斜角為α，可得tanα=$\frac{3}{4}$，α是銳角．
可得：tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{24}{7}$．
（2）∵tanα=$\frac{3}{4}$=$\frac{sinα}{cosα}$，α是銳角，
又∵sin²α+cos²α=1，
∴解得sinα=$\frac{3}{5}$．cos$α=\frac{4}{5}$，
∴$cos（{\frac{π}{6}-α}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．

點評 本題考查直線的傾斜角與同角三角函數的基本關系式，兩角差的余弦函數公式的應用，考查計算能力．