Question

13．已知函數f（x）=|x+4|-|x-1|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若不等式f（x）+1≤4^a-5×2^a有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-5，x≤-4}\\{2x+3，-4＜x＜1}\\{5，x≥1}\end{array}}\right.$，分類討論，求得不等式f（x）＞3的解集．
（2）根據題意可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-5，x≤-4}\\{2x+3，-4＜x＜1}\\{5，x≥1}\end{array}}\right.$ 的最小值為-5，可得4^a-5×2^a-1≥-5，由此求得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-5，x≤-4}\\{2x+3，-4＜x＜1}\\{5，x≥1}\end{array}}\right.$，
則當x≤-4時，不成立；當-4＜x＜1時，2x+3＞3，解得0＜x＜1；
當x≥1時，5＞3成立，故原不等式的解集為{x|x＞0}．
（2）根據題意可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-5，x≤-4}\\{2x+3，-4＜x＜1}\\{5，x≥1}\end{array}}\right.$ 的最小值為-5，
由即f（x）≤4^a-5×2^a-1有解，∴4^a-5×2^a-1≥-5，即4^a-5×2^a+4≥0，即2^a≥4或2^a≤1，∴a≥2或a≤0，
故實數a的取值范圍是（-∞，0]∪[2，+∞）．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數的性質，指數不等式的解法，屬于中檔題．