Question

3．設函數f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=f（x）+f′（x）．
（1）求g（x）的單調區間和最小值；
（2）討論g（x）與g（$\frac{1}{x}$）的大小關系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜$\frac{1}{x}$對任意x＞0成立？若存在求出x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求導，根據導數的正負取得函數的單調區間，從而可得函數的最小值；
（2）構造函數φ（x），利用導數求該函數的最小值，從而求得g（x）與g（$\frac{1}{x}$）的大小大小關系；
（3）假設存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜$\frac{1}{x}$對任意x＞0成立，轉化為封閉型命題，利用研究函數的最值可得結論．

解答 解：（1）由f（1）=0，導函數f′（x）=$\frac{1}{x}$可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f'（x），∴g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0．
求導函數可得g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
所以當x∈（0，1）時，g'（x）＜0；x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，
故函數的單調增區間為（1，+∞），單調減區間為（0，1），極小值為g（1）=1
∵函數在定義域上僅有一個極小值，∴也為最小值，最小值為g（1）=1．
（2）設φ（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$）=2lnx+$\frac{1}{x}$-x，x＞0，
則φ′（x）=-（ $\frac{x-1}{x}$）²≤0，故函數在定義域內為減函數，
∵φ（1）=0，
∴當x∈（0，1）時，φ（x）＞0，即g（x）＞g（$\frac{1}{x}$）；
x∈（1，+∞）時，φ（x）＜0，即g（x）＜g（$\frac{1}{x}$）；
x=1時，g（x）=g（$\frac{1}{x}$）．
（3）假設存在滿足題設的x₀，則|g（x）-g（x₀）|＜$\frac{1}{x}$
?-$\frac{1}{x}$＜g（x₀）-（lnx+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$
?lnx＜g（x₀）＜lnx+$\frac{2}{x}$，對任意x＞0成立，
從而有 $\left\{\begin{array}{l}{{（lnx）}_{max}＜g{（x}_{0}）}\\{g{（x}_{0}）{＜（lnx+\frac{2}{x}）}_{min}}\end{array}\right.$，
∵lnx→+∞，（lnx+$\frac{2}{x}$）_min=1，
∴無解，故不存在．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性和在閉區間上的最值問題，考查分類討論的思想方法．其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．