Question

10．已知函數f（x）=$cosx（sinx+cosx）+\frac{1}{2}$
（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，求f（a）的值．
（2）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數關系式即可求f（a）的值．
（2）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；

解答 解：函數f（x）=$cosx（sinx+cosx）+\frac{1}{2}$
（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，
則f（a）=sinαcosα+cos²α+$\frac{1}{2}$=$\frac{sinαcosα+cos^2α+\frac{1}{2}（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）}{si{n}^{2}α+cos^2α}$=$\frac{tanα+1+\frac{1}{2}ta{n}^{2}α+\frac{1}{2}}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{17}{10}$；
 （2）將函數f（x）化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
∴函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{3π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$．
∴函數f（x）的單調遞增區間為：[$-\frac{3π}{8}+kπ$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．