Question

19．已知不等式$1+\frac{1}{4}＜\frac{3}{2}，1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}＜\frac{5}{3}，1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}＜\frac{7}{4}，…$，照此規律，總結出第n-1個不等式為$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＜\frac{2n-1}{n}（n≥2，n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 依題意觀察不等式的左邊的變化是一個數列的求和形式，不等式的右邊的形式，進而得到答案

解答 解：依題意觀察不等式的左邊的變化是一個數列{$\frac{1}{{n}^{2}}$}的求和形式，最后一項是$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
不等式的右邊是$\frac{2n+1}{n+1}$的形式，
故照此規律，總結出第n-1個不等式為：$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＜\frac{2n-1}{n}（n≥2，n∈{N^*}）$，
故答案為：$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＜\frac{2n-1}{n}（n≥2，n∈{N^*}）$

點評 本題考查的知識點是：1．歸納推理.2．數列求和的思想.3．數列的通項，難度中檔．