Question

16．已知函數f（x）=alnx+$\frac{a+1}{2}{x}^{2}$+1．
（1）當a=-$\frac{1}{2}$時，求f（x）在區間[$\frac{1}{e}$，e]上的最值；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）確定f（x）的定義域，求導數，確定f（x）在區間[$\frac{1}{e}$，e]上的最值只可能在f（1），f（$\frac{1}{e}$），f（e）取到，即可求得結論；
（2）求導函數，分類討論，利用導數的正負，即可確定函數f（x）的單調性．

解答 解：（1）當a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=-$\frac{1}{2}$lnx+$\frac{1}{4}$x²+1，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$，
∵f（x）的定義域為（0，+∞），
∴由f'（x）=0得x=1，
∴f（x）在區間[$\frac{1}{e}$，e]上的最值只可能在f（1），f（$\frac{1}{e}$），f（e）取到，
而f（1）=$\frac{5}{4}$，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{4e}^{2}}$，f（e）=$\frac{1}{2}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$，f（x）_min=f（1）=$\frac{5}{4}$．
（2）f′（x）=$\frac{（a+1{）x}^{2}+a}{x}$，x∈（0，+∞）．
①當a+1≤0，即a≤-1時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞減；
②當a≥0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增；
③當-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得x²＞$\frac{-a}{a+1}$，
∴x＞$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$或x＜-$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$（舍去）
∴f（x）在（$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$，+∞）單調遞增，在（0，$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$）上單調遞減；
綜上，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增；
當-1＜a＜0時，f（x）在（$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$，+∞）單調遞增，在（0，$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$）上單調遞減；
當a≤-1時，f（x）在（0，+∞）單調遞減．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．