Question

9．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，且2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*）則$\frac{a_n}{n}$的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{11}{9}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 通過對2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*）變形可知na_n-（n-1）a_n-1=（n+1）a_n+1-na_n（n≥2且n∈N^*），進而可知數列{na_n}是首項為1、公差為5的等差數列，進而可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{5n-4}{{n}^{2}}$=$\frac{5-\frac{4}{n}}{n}$=（5-$\frac{4}{n}$）•$\frac{1}{n}$，利用函數f（x）=（5-4x）x的單調性計算可得結論．

解答 解：因為2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*），
所以na_n-（n-1）a_n-1=（n+1）a_n+1-na_n（n≥2且n∈N^*），
又因為a₁=1，a₂=3，
所以（n+1）a_n+1-na_n=na_n-（n-1）a_n-1=…=2a₂-a₁=5，
所以數列{na_n}是首項為1、公差為5的等差數列，
所以na_n=1+5（n-1）=5n-4，
所以$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{5n-4}{{n}^{2}}$=$\frac{5-\frac{4}{n}}{n}$=（5-$\frac{4}{n}$）•$\frac{1}{n}$，
記f（x）=（5-4x）x，則函數y=f（x）圖象是關于x=$\frac{5}{8}$對稱、開口向下的拋物線，
由于0＜x≤1，所以f（x）_max=f（$\frac{5}{8}$）=$\frac{25}{16}$，
由于n∈N^*，所以當n=2時$\frac{{a}_{n}}{n}$取得最大值$\frac{3}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查數列的通項，考查運算求解能力，構造新數列是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．