Question

13．已知a＞b，二次三項式ax²+2x+b≥0對一切實數恒成立，又?x₀∈R，使a${x}_{0}^{2}$+2x₀+b=0，則$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由條件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化為$\frac{{a}^{4}+1}{{a}^{3}-a}$=$\frac{（a-\frac{1}{a}）^{2}+2}{a-\frac{1}{a}}$=（a-$\frac{1}{a}$）+$\frac{2}{a-\frac{1}{a}}$，利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵已知a＞b，二次三項式ax²+2x+b≥0對于一切實數x恒成立，
∴a＞0，且△=4-4ab≤0，∴ab≥1．
再由?x₀∈R，使a${x}_{0}^{2}$+2x₀+b=0成立，可得△=0，
∴ab=1，
∴a＞1，
∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}{a-\frac{1}{a}}$=$\frac{（a-\frac{1}{a}）^{2}+2}{a-\frac{1}{a}}$=（a-$\frac{1}{a}$）+$\frac{2}{a-\frac{1}{a}}$≥2$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）•\frac{2}{a-\frac{1}{a}}}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時取等號
故$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值為2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查基本不等式的應用以及函數恒成立的問題，式子的變形是解題的難點和關鍵，屬于中檔題．