Question

在四邊形ABCD中，

AB

=

DC

=（1，1），

BA

| BA |

+

BC

| BC |

=

3 • BD

| BD |

，則四邊形ABCD的面積是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：由向量加法的平行四邊形法則，可得四邊形ABCD為平行四邊形，設

BE

=

BA

| BA |

，

BF

=

BC

| BC |

，

BG

=

3 BD

| BD |

，即有點E，F，G分別在線段BA，BC，BD上，則|

BE

|=|

BF

|=1，|

BG

|=

3

，運用余弦定理可得∠BAD=120°，再由平行四邊形的面積公式計算即可得到．

解答： 解：由已知得：四邊形ABCD為平行四邊形，
且

BA

+

BC

=

BD

，|

AB

|=|

DC

|=

2

，
設

BE

=

BA

| BA |

，

BF

=

BC

| BC |

，

BG

=

3 BD

| BD |

，
即有點E，F，G分別在線段BA，BC，BD上，
且EG∥BF，FG∥BF，
則|

BE

|=|

BF

|=1，|

BG

|=

3

，
cos∠BAD=cos∠BEG=

GE2+EB2-GB2

2EG•EB

=-

1

2

，
則有∠BAD=120°，
則四邊形ABCD的面積S=2×

1

2

|AB|•|AD|•sin∠BAD=

2

×

2

×

3

2

=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查平面向量的數量積的定義和性質，考查向量加法的平行四邊形法則，考查運算能力，屬于中檔題．