Question

4．已知函數f（x）=4sin$\frac{ω}{2}xcos（{\frac{ω}{2}x-\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}$（ω＞0）．
（Ⅰ）若ω=3，求f（x）在區間$[{\frac{5π}{9}，\frac{8π}{9}}]$上的最小值；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象如圖所示，求ω的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，ω=3，求出f（x）解析式，x∈$[{\frac{5π}{9}，\frac{8π}{9}}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最小值，
（2）圖象過（$\frac{2π}{9}$，$\sqrt{3}$）帶入即可求出ω的值．

解答 解：函數f（x）=4sin$\frac{ω}{2}xcos（{\frac{ω}{2}x-\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}$（ω＞0）．
化解可得：f（x）=4sin$\frac{ω}{2}$x（$\frac{1}{2}cos\frac{ω}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{ω}{2}x$）$-\sqrt{3}$
=2sin$\frac{ω}{2}$xcos$\frac{ωx}{2}$+2$\sqrt{3}$sin²$\frac{ωx}{2}$$-\sqrt{3}$
═sinωx+$\sqrt{3}$（1-cosωx）$-\sqrt{3}$
=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx
=2sin（$ωx-\frac{π}{3}$）
（I）∵ω=3，
∴$f（x）=2sin（{3x-\frac{π}{3}}）$．
∵$\frac{5π}{9}≤x≤\frac{8π}{9}$，
∴$\frac{4π}{3}≤3x-\frac{π}{3}≤\frac{7π}{3}$．
所以，當$3x-\frac{π}{3}=\frac{3π}{2}$，即$x=\frac{11π}{18}$時，函數f（x）的最小值為-2．
（II）圖象過（$\frac{2π}{9}$，$\sqrt{3}$）
即$f（\frac{2π}{9}）=\sqrt{3}$，
故而$sin（{\frac{2π}{9}ω-\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
$\frac{2π}{9}ω-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{3}或2kπ+\frac{2π}{3}，k∈{Z}則ω=3+9k或\frac{9}{2}+9k，k∈Z$．
又由圖象可知，$\frac{2π}{9}＜\frac{T}{2}$，即$T＞\frac{4π}{9}$，
所以$ω＜\frac{9}{2}$
又因為ω＞0，所以ω=3．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．