Question

9．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y≥0\\ 5x-y-6≤0.\end{array}\right.$若z=x+my的最小值是-5，則實數m取值集合是（　�。�

• A． {-4，6}
• B． $\left\{{-\frac{7}{4}，6}\right\}$
• C． $\left\{{-4，-\frac{7}{4}}\right\}$
• D． $\left\{{-4，-\frac{7}{4}，6}\right\}$

Answer 1

分析 畫出滿足約束條件的可行域，求出目標函數的最大值，從而建立關于m的等式，即可得出答案．

解答 解：由z=x+my得y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{z}{m}$，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
∵z=x+my的最小值為-5，
∴此時z=x+my=-5，
此時目標函數過定點Q（-5，0），
作出x+my=-5的圖象，
由圖象知當m＞0時，直線z=x+my，
經過B時，取得最小值-5．
當m＜0時，由平移可知當直線y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{z}{m}$，
經過點A時，目標函數取得最小值-5，此時滿足條件，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{5x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（2，4），
同時，A也在直線x+my=-5上，
代入得2+4m=-5，解得m=-$\frac{7}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{5x-y-6=0}\\{x=y}\end{array}\right.$解得B（1，-1）
同時，B也在直線x+my=-5上，
代入得1-m=-5，解得m=6，
則實數m取值集合是：{-$\frac{7}{4}$，6}．
故選：B．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，根據目標函數的幾何意義確定取得最小值的最優解是解決本題的關鍵．