Question

18．已知函數f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos（π-x）cosx
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，即得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos（π-x）cosx
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x$-\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
當2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$，即x=0時，函數f（x）取得最小值為$-\sqrt{3}$．
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$時，函數f（x）取得最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值為$-\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．