Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤m}\\{{x}^{2}，x＞m}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=f（x）-k．
（1）當m=2時，若函數(shù)g（x）有兩個零點，則k的取值范圍是（4，8]；
（2）若存在實數(shù)k使得函數(shù)g（x）有兩個零點，則m的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 （1）分別畫出y=f（x）與y=k的圖象，如圖所示，若函數(shù)g（x）有兩個零點，由圖象可得4＜k≤8，
（2）分類討論，當m≥0時，只要m³＞m²即可，當m＜0都存在

解答 解：（1）當m=2時，分別畫出y=f（x）與y=k的圖象，如圖所示，
若函數(shù)g（x）有兩個零點，由圖象可得4＜k≤8，
故k的取值范圍是（4，8]
（2）當m≥0時，y=x³在（-∞，m]為增函數(shù)，最大值為m³，
y=x²在（m，+∞）為增函數(shù)，最小值為m²，
若存在實數(shù)k使得函數(shù)g（x）有兩個零點，則m³＞m²，解得m＞1，
當m＜0時，y=x²在（m，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）為增函數(shù)，
故若存在實數(shù)k使得函數(shù)g（x）有兩個零點，
綜上所述m的取值范圍為（-∞，0）∪（1，+∞），
故答案為：（1）：（4，8]，（2）：（-∞，0）∪（1，+∞）

點評 本題考查了分度函數(shù)以及函數(shù)零點的問題，常采用數(shù)形結(jié)合法，屬于中檔題