Question

11．已知向量$\vec a=（1，cos2x），\vec b=（sin2x，-\sqrt{3}）$，函數f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）若$f（{\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數量積以及兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，利用正弦函數的單調區間求解即可．
（2）利用（1）化簡函數的表達式，通過二倍角公式求解即可．

解答 解：（1）∵向量$\vec a=（1，cos2x），\vec b=（sin2x，-\sqrt{3}）$，
∴$f（x）=\vec a•\vec b=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．-----（3分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$得：$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z）
∴函數f（x）的單調增區間為$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]$（k∈Z）．-----（6分）
（2）∵$f（\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}）=2sin（θ+\frac{4π}{3}-\frac{π}{3}）=-2sinθ=\frac{6}{5}$，∴$sinθ=-\frac{3}{5}$．-----（10分）
∴$cos2θ=1-2{sin^2}θ=1-2×\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$．-----（12分）

點評 本題考查向量的數量積的運算，兩角和與差的三角函數，考查計算能力．