Question

3．已知正實數a，b滿足a+b=4，則$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}$的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}$）[（a+1）+（b+3）]=$\frac{1}{8}$（$\frac{a+1}{b+3}$+$\frac{b+3}{a+1}$+2），由此利用均值不等式能求出結果．

解答 解：∵正實數a，b滿足a+b=4，
∴a+1＞1，b+3＞3，a+1+b+3=8，
∴$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}$）[（a+1）+（b+3）]=$\frac{1}{8}$（$\frac{a+1}{b+3}$+$\frac{b+3}{a+1}$+2）
≥$\frac{1}{8}$（2$\sqrt{\frac{a+1}{b+3}×\frac{b+3}{a+1}}$+2）=$\frac{1}{2}$．
當且僅當$\frac{a+1}{b+3}=\frac{b+3}{a+1}$時，取等號，
∴$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}$的最小值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查兩式和的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．