Question

14．數列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，數列{b_n}是首項為a₁，公差為d（d≠0）的等差數列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數列．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：當n≥2時，S_n+1=2ⁿ⁺²-2，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-{2^n}={2^n}$，當n=1時，${a_1}={S_1}={2^{1+1}}-2=2={2^1}$，也滿足上式，即可求得數列{a_n}的通項公式，由b₁，b₃，b₁₁成等比數列，則（2+2d）²=2×（2+10d），即可求得d=3，根據等差數列通項公式，即可求得數列{b_n}的通項公式；
（2）由（1）可得：c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，利用“錯位相減法”即可求得列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）當n≥2時，S_n+1=2ⁿ⁺²-2，
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-{2^n}={2^n}$，
當n=1時，${a_1}={S_1}={2^{1+1}}-2=2={2^1}$，也滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式為${a_n}={2^n}$．
b₁=a₁=2，設公差為d，
由b₁，b₃，b₁₁成等比數列，
（2+2d）²=2×（2+10d），
解得：d=0（舍去）或d=3，
∴數列{b_n}是的通項公式b_n=3n-1．                             
（2）由（1）可得：c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
${T_n}=\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\frac{b_3}{a_3}+…+\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{2}{2^1}+\frac{5}{2^2}+\frac{8}{2^3}+…+\frac{3n-1}{2^n}$，
∴$2{T_n}=2+\frac{5}{2^1}+\frac{8}{2^2}+…+\frac{3n-1}{{{2^{n-1}}}}$，
兩式式相減得：${T_n}=2+\frac{3}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{3}{{{2^{n-1}}}}-\frac{3n-1}{2^n}$，
∴${T_n}=2+\frac{{\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{3n-1}{2^n}=5-\frac{3n+5}{2^n}$，
數列{c_n}的前n項和T_n，T_n=5-$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查等差數列及等比數列的性質及前n項和公式，考查“錯位相減法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．