Question

1．隨著社會(huì)發(fā)展，廣州市在一天的上下班時(shí)段經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)堵車嚴(yán)重的現(xiàn)象．交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為T，其范圍為[0，10]，分別有5個(gè)級(jí)別；T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10）嚴(yán)重?fù)矶拢�早高峰時(shí)段（T≥3），從廣州市交通指揮中心隨機(jī)選取了50個(gè)交通路段進(jìn)行調(diào)查，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示：
（1）據(jù)此直方圖，估算交通指數(shù)T∈[3，9）時(shí)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）據(jù)此直方圖，求市區(qū)早高峰馬路之間的3個(gè)路段至少有2個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕剩?br />（3）某人上班路上所用時(shí)間，若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘；中度擁堵為45分鐘；嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人上班所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由直方圖知：T∈[3，9]時(shí)交通指數(shù)的中位數(shù)為5+1×$\frac{0.2}{0.24}$．T∈[3，9]時(shí)交通指數(shù)的平均數(shù)3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1．
（2）設(shè)事件A為“一條路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒tP（A）=0.1．則3條路段中至少有兩條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿椋篜=${∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{10}）^{2}×\frac{9}{10}$+${∁}_{3}^{3}×（\frac{1}{10}）^{3}$．
（3）由題意，所用時(shí)間x的分布列如下表，即可得出此人經(jīng)過(guò)該路段所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由直方圖知：T∈[3，9]時(shí)交通指數(shù)的中位數(shù)為5+1×$\frac{0.2}{0.24}$=$\frac{35}{6}$．
T∈[3，9]時(shí)交通指數(shù)的平均數(shù)3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92．
（2）設(shè)事件A為“一條路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒tP（A）=0.1．
則3條路段中至少有兩條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿椋篜=${∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{10}）^{2}×\frac{9}{10}$+${∁}_{3}^{3}×（\frac{1}{10}）^{3}$=$\frac{7}{250}$．
∴3條路段中至少有兩條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿?\frac{7}{250}$．
（3）由題意，所用時(shí)間x的分布列如下表：

x	30	35	45	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

則Ex=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6．
∴此人經(jīng)過(guò)該路段所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是40.6分鐘．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、二項(xiàng)分布列的性質(zhì)及其有關(guān)計(jì)算、數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．