Question

13．若對?x∈[0，+∞），y∈[0，+∞），不等式e^x+y-2+e^x-y-2+2-4ax≥0恒成立，則實數a取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{4}}]$
• B． $[{\frac{1}{4}，+∞}）$
• C． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 分類參數得a≤$\frac{{e}^{x+y-2}+{e}^{x-y-2}+2}{4x}$，先把x看作常數，求出右側函數的最小值，再把最小值看作關于x的函數，求出最小值，即可得出a的范圍．

解答 解：∵e^x+y-2+e^x-y-2+2-4ax≥0恒成立，∴a≤$\frac{{e}^{x+y-2}+{e}^{x-y-2}+2}{4x}$恒成立，
把x看作常數，令f（y）=$\frac{{e}^{x+y-2}+{e}^{x-y-2}+2}{4x}$，則f′（y）=$\frac{{e}^{x+y-2}-{e}^{x-y-2}}{4x}$=$\frac{{e}^{x-2}（{e}^{y}-{e}^{-y}）}{4x}$≥0，
∴f（y）在[0，+∞）上是增函數，
∴當y=0時，f（y）取得最小值f（0）=$\frac{{e}^{x-2}+1}{2x}$，
再令g（x）=$\frac{{e}^{x-2}+1}{2x}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x-2}•2x-2（{e}^{x-2}+1）}{4{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x-2}（x-1）-1}{2{x}^{2}}$，
令g′（x）=0得x=2，
∴當0＜x＜2時，g′（x）＜0，當x＞2時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∴當x=2時，g（x）取得最小值g（2）=$\frac{1}{2}$，
∴a$≤\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了函數恒成立問題，函數單調性與最值的計算，屬于中檔題．