Question

10．5支籃球隊進行單循環比賽（任兩支球隊恰進行一場比賽），任兩支球隊之間勝率都是$\frac{1}{2}$．單循環比賽結束，以獲勝的場次數作為該隊的成績，成績按從大到小排名次順序，成績相同則名次相同．有下列四個命題：p₁：恰有四支球隊并列第一名為不可能事件；p₂：有可能出現恰有兩支球隊并列第一名；p₃：每支球隊都既有勝又有敗的概率為$\frac{17}{32}$；p₄：五支球隊成績并列第一名的概率為$\frac{3}{32}$．其中真命題是（　　）

• A． p₁，p₂，p₃
• B． p₁，p₂，p₄
• C． p₁，p₃，p₄
• D． p₂，p₃，p₄

Answer 1

分析 若出現四支球隊并列第一名，則第一名的勝場數不可能為3或者4并列贏兩場，不可能恰有四支球隊并列第一，故p₁為真；有可能出現恰有兩支球隊并列第一名，故P₂5支球隊單循環一共是10場比賽，有2¹⁰個不同的結果，認為所有不同比賽結果都是等可能的．記有全勝的比賽可能結果為$C_5^1{2^6}$種，有全敗的比賽可能結果為$C_5^1{2^6}$種．既有全勝又有全敗的結果為$A_5^2{2^3}$種，由此求出p₃為真；若五支球隊成績并列第一名則必出現a＞b＞c＞d＞e＞a，同時a＞c＞e＞b＞d＞a，從而求出五支球隊成績并列第一名的概率為$\frac{48}{{{2^{10}}}}=\frac{3}{64}$．

解答 解：p₁為真：因為若出現四支球隊并列第一名，
則第一名的勝場數不可能為3或者4（因為如此需要超過10個單場勝利者）并列贏兩場，
那么自然就是五隊同名次，所以不可能恰有四支球隊并列第一．有可能出現恰有兩支球隊并列第一名，p₂為真．
p₃為真：5支球隊單循環一共是10場比賽，
所以有2¹⁰個不同的結果，由于勝率都是$\frac{1}{2}$，
故認為所有不同比賽結果都是等可能的．記有全勝的比賽可能結果為$C_5^1{2^6}$種，
有全敗的比賽可能結果為$C_5^1{2^6}$種．既有全勝又有全敗的結果為$A_5^2{2^3}$種，
則既無全勝又無全敗的結果為${2^{10}}-C_5^1{2^6}-C_5^1{2^6}+A_5^2{2^3}$種．
命題p₃的概率為$\frac{{2}^{10}-{C}_{5}^{1}•{2}^{6}-{C}_{5}^{1}•{2}^{6}+{A}_{5}^{2}•{2}^{3}}{{2}^{10}}$
=$1-\frac{{5×{2^7}}}{{{2^{10}}}}+\frac{{20×{2^3}}}{{{2^{10}}}}=1-\frac{5}{8}+\frac{5}{32}=\frac{17}{32}$，故p₃是正確的．
p₄為假：若五支球隊成績并列第一名則必出現a＞b＞c＞d＞e＞a，
同時a＞c＞e＞b＞d＞a，
也就是彼得森圖．規定外圈順時針為勝，
那么外圈一共有$\frac{A_5^5}{5}$種不同排列，內圈只有兩種，
故一共有48種，所以概率為$\frac{48}{{{2^{10}}}}=\frac{3}{64}$．
故選：A．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．