Question

12．設二次函數f（x）=x²+ax+b，若對任意的實數a，都存在實數$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得不等式|f（x）|≥x成立，則實數b的取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{1}{3}}]∪[{2，+∞}]$
• B． $（{-∞，-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{1}{4}，+∞}）$
• C． $（{-∞，\frac{1}{4}}]∪[{\frac{9}{4}，+∞}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{9}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 問題轉化為只需$g（x）=x+\frac{b}{x}，x∈[{\frac{1}{2}，2}]$的最大值與最小值之差小于2即可．通過討論b的范圍，求出最大值和最小值的差，從而確定b的范圍即可．

解答 解：問題條件的反面為“若存在實數a，對任意實數$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得不等式|f（x）|＜x成立”，
即$?x∈[{\frac{1}{2}，2}]，-1＜x+\frac{b}{x}+a＜1$，
只要$g（x）=x+\frac{b}{x}，x∈[{\frac{1}{2}，2}]$的最大值與最小值之差小于2即可．
當b≥4時，$g（\frac{1}{2}）-g（2）＜2$，得b∈∅，
當$\frac{1}{4}＜b＜4$時，$\left\{{\begin{array}{l}{g（2）-2\sqrt{b}＜2}\\{g（\frac{1}{2}）-2\sqrt{b}＜2}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{4}＜b＜\frac{9}{4}$，
當$b≤\frac{1}{4}$時，$g（2）-g（\frac{1}{2}）＜2$，得$-\frac{1}{3}＜b≤\frac{1}{4}$，
所以，$-\frac{1}{3}＜b＜\frac{9}{4}$，
綜上可得，所求實數b的取值范圍是$b≤-\frac{1}{3}，或b≥\frac{9}{4}$，
故選：D．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查分類討論思想，是一道中檔題．