Question

19．設數列{a_n}的首項a₁為常數，且a_n+1=3ⁿ-2a_n，（n∈N^*）
（1）證明：{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是等比數列；
（2）若a₁=$\frac{3}{2}$，{a_n}中是否存在連續三項成等差數列？若存在，寫出這三項，若不存在說明理由．
（3）若{a_n}是遞增數列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于a_n+1=3ⁿ-2a_n，（n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{5}×{3}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}×{3}^{n}}$=$\frac{\frac{2}{5}×{3}^{n}-2{a}_{n}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}×{3}^{n}}$=-2，即可證明．
（2）{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是公比為-2，首項為a₁-$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{10}$的等比數列．通項公式為a_n=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}$×（-2）^n-1，若{a_n}中存在連續三項成等差數列，則必有2a_n+1=a_n+a_n+2，代入解出即可得出．
（3）如果a_n+1＞a_n成立，即$\frac{{3}^{n+1}}{5}$+$（{a}_{1}-\frac{3}{5}）×（-2）^{n}$＞$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）（-2）^n-1對任意自然數均成立．化簡得$\frac{4}{15}×{3}^{n}$＞$-（{a}_{1}-\frac{3}{5}）$×（-2）ⁿ，對n分類討論，利用數列的單調性即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=3ⁿ-2a_n，（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{5}×{3}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}×{3}^{n}}$=$\frac{\frac{2}{5}×{3}^{n}-2{a}_{n}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}×{3}^{n}}$=-2，
∴數列{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是等比數列．
（2）解：{a_n-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是公比為-2，首項為a₁-$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{10}$的等比數列．
通項公式為a_n=$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）（-2）^n-1=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}$×（-2）^n-1，
若{a_n}中存在連續三項成等差數列，則必有2a_n+1=a_n+a_n+2，
即$2[\frac{{3}^{n+1}}{5}+\frac{9}{10}×（-2）^{n}]$=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}×（-2）^{n-1}$+$\frac{{3}^{n+2}}{5}+$$\frac{9}{10}×（-2）^{n+1}$，
解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差數列．
（3）解：如果a_n+1＞a_n成立，
即$\frac{{3}^{n+1}}{5}$+$（{a}_{1}-\frac{3}{5}）×（-2）^{n}$＞$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a₁-$\frac{3}{5}$）（-2）^n-1對任意自然數均成立．
化簡得$\frac{4}{15}×{3}^{n}$＞$-（{a}_{1}-\frac{3}{5}）$×（-2）ⁿ，
當n為偶數時${a}_{1}＞\frac{3}{5}$-$\frac{4}{15}×（\frac{3}{2}）^{n}$，
∵p（n）=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{15}×（\frac{3}{2}）^{n}$是遞減數列，
∴p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；
當n為奇數時，a₁$＜\frac{3}{5}$+$\frac{4}{15}×（\frac{3}{2}）^{n}$，
∵q（n）=$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{15}×（\frac{3}{2}）^{n}$是遞增數列，
∴q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；
故a₁的取值范圍為（0，1）．

點評 本題考查了數列的遞推關系、等差數列與等比數列的定義與通項公式、數列的單調性、不等式解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．