Question

4．已知函數f（x）=x+$\frac{9}{x}$．
（Ⅰ）指出f（x）的定義域，并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）在區間[3，+∞）上的單調性，并求f（x）在[3，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據分母不能為0，可得函數的定義域，進而根據函數奇偶性的定義，可得函數為偶函數．
（Ⅱ）證法一：設x₁，x₂是區間[3，+∞）上的兩個任意實數，且x₁＜x₂，作差判斷f（x₁），f（x₂）的大小，可得結論
證法二：求導，根據x∈[3，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，可得：函數f（x）在[3，+∞）上為單調遞增函數；

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=x+$\frac{9}{x}$的定義域為{x|x≠0}關于原點對稱，
∵f（-x）=-x-$\frac{9}{x}$=-（x+$\frac{9}{x}$）=-f（x）．
∴函數f（x）是奇函數；
（Ⅱ）f（x）在區間[3，+∞）上單調遞增，理由如下：
證法一：設x₁，x₂是區間[3，+∞）上的兩個任意實數，且x₁＜x₂，…（2分）
于是f（x₁）-f（x₂）=（${x}_{1}+\frac{9}{{x}_{1}}$）-（${x}_{2}+\frac{9}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}-9}{{x}_{1}•{x}_{2}}$…（4分）
因為x₂＞x₁≥3，所以x₁x₂-9≥0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），…（6分）
所以函數f（x）在[3，+∞）上為單調增函數．…（7分）
證法二：∵f（x）=x+$\frac{9}{x}$．
∴f′（x）=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$．
當x∈[3，+∞）時，
f′（x）≥0恒成立，
故函數f（x）在[3，+∞）上為單調遞增函數；

點評 本題考查的知識點是抽象函數的應用，函數的單調性和函數的奇偶性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．