Question

9．已知H是球O的直徑AB上一點，AH：HB=1：3，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的半徑為$\frac{4\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 設球的半徑為R，根據題意知由與球心距離為$\frac{1}{4}$R的平面截球所得的截面圓的面積是π，我們易求出截面圓的半徑為1，根據球心距、截面圓半徑、球半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，我們易求出該球的半徑．

解答 解：設球的半徑為R，∵AH：HB=1：3，∴平面α與球心的距離為$\frac{1}{4}$R，
∵α截球O所得截面的面積為π，
∴d=$\frac{1}{4}$R時，r=1，
故由R²=r²+d²得R²=1²+（$\frac{1}{4}$R）²，∴R²=$\frac{16}{15}$
∴R=$\frac{4\sqrt{15}}{15}$．
故答案為$\frac{4\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查球的半徑，若球的截面圓半徑為r，球心距為d，球半徑為R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構成直角三角形，滿足勾股定理．