Question

1．已知函數f（x）=x³-3x²+1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x+\frac{5}{4}，x＞0\\-{x^2}-6x-8，x≤0.\end{array}$則函數h（x）=g（f（x））-a（a為正常數）的零點個數最多為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 9
• D． 8

Answer 1

分析 令t=f（x），則g（t）=a，解得t的值，求函數f（x）的導數f′（x），判斷函數的單調性和極值，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：令t=f（x），則g（t）=a，
當t＞0時，由g（t）=a，得${t}^{2}-t+\frac{5}{4}=a$，即4t²-4t+5-a=0，即（2t-1）²=a-4，①
當t≤0，由g（t）=a，得-t²-6t-8=a，即（t+3）²=a-1，即t=-3，②
若0＜a＜1，①無解，②無解；
若a=1，①無解，由②得t=-3；
若1＜a＜4，①無解，由②得t=-3$±\sqrt{a-1}$；
若a=4，由①得t=$\frac{1}{2}$，由②得t=-3$±\sqrt{3}$；
若4＜a＜5，由①得t=$\frac{1±\sqrt{a-4}}{2}$，由②得t=-3$±\sqrt{a-1}$；
若a=5，由①得t=1，由②得t=-1，t=-5；
若5＜a≤10，由①得t=$\frac{1+\sqrt{a-4}}{2}$，由②得t=-3$±\sqrt{a-1}$；
若a＞10，由①得t=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，由②得t=-3-$\sqrt{a-1}$．
函數f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，此時函數單調遞減，
即當x=0時，函數取得極大值f（0）=1，
當x=2時，函數取得極小值f（2）=-3，
則當4＜a＜5時，此時t=$\frac{1±\sqrt{a-4}}{2}$或t=-3+$\sqrt{a-1}$∈（-3，1），
函數h（x）=g（f（x））-a（a為正常數）的零點個數最多為9個．
故選：C．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，利用換元法結合函數的導數研究函數的單調性和極值，利用數形結合是解決本題的關鍵，是難題．