Question

9．已知函數f（x）=xe^x-mx+m，若f（x）＜0的解集為（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一個整數解，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}）$
• B． $（\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{e}）$
• C． $[\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}）$
• D． $[\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{e}）$

Answer 1

分析 設g（x）=xe^x，y=ax-a，求出g（x）的最小值，結合函數的圖象求出m的范圍即可．

解答 解：設g（x）=xe^x，y=mx-m，
由題設原不等式有唯一整數解，
即g（x）=xe^x在直線y=mx-m下方，
g′（x）=（x+1）e^x，
g（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，+∞）遞增，
故g（x）_min=g（-1）=-$\frac{1}{e}$，y=mx-m恒過定點P（1，0），
結合函數圖象得K_PA≤m＜K_PB，
即$\frac{2}{3{e}^{2}}$≤m＜$\frac{1}{2e}$，
，
故選：C．

點評 本題考查了求函數的最值問題，考查數形結合思想，是一道中檔題．