Question

17．（1）若函數(shù)f（2x+1）=x²-2x，求f（x）解析式
（2）若一次函數(shù)f（x）為增函數(shù)，且f（f（x））=4x+1，求f（x）解析式．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求解即可．
（2）利用待定系數(shù)法求解即可

解答 解：（1）函數(shù)f（2x+1）=x²-2x，
設2x+1=t，則x=$\frac{1}{2}$（t-1），
那么函數(shù)f（2x+1）=x²-2x轉(zhuǎn)化為g（t）=$\frac{1}{4}$（t-1）²-2×$\frac{1}{2}$（t-1）=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{2}t$$+\frac{5}{4}$，
∴f（x）解析式為f（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}x$$+\frac{5}{4}$；
（2）f（x）是一次函數(shù)且f（x）為增函數(shù)，設f（x）=kx+b，（k＞0），
f（f（x））=f（kx+b）=k（kx+b）+b=4x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=4}\\{kb+b=1}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）解析式為$f（x）=2x+\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法，利用了換元法和待定系數(shù)法，屬于基礎(chǔ)題．