Question

7．如圖①所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，且AD=$\frac{1}{3}$BC=a，∠BAD=135°，AE⊥BC于點E，F為BE的中點．將△ABE沿著AE折起至△AB′E的位置，得到如圖②所示的四棱錐B′-ADCE．
（1）求證：AF∥B′CD平面；
（2）若平面AB′E⊥平面AECD，三棱錐A-B′ED的體積為$\frac{9}{16}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）取B′C的中點G，連接FG，DG，由F為B′E的中點，可得FG∥EC，且$FG=\frac{1}{2}EC$，進一步得到AD=$\frac{1}{2}EC$，從而可得四邊形ADGF為平行四邊形，則AF∥DG，
再由線面平行的判定可得AF∥平面B′CD；
（2）由平面AB′E⊥平面AECD，可得B′E⊥平面ADE，然后利用等積法可得三棱錐A-B′ED的體積，進一步得到a的值．

解答 （1）證明：取B′C的中點G，連接FG，DG，
∵F為B′E的中點，∴FG∥EC，且$FG=\frac{1}{2}EC$，
∵圖①中四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，
且$AD=\frac{1}{3}BC=a$，∠BAD=135°，
∴EC=2a，AD∥EC，AD=$\frac{1}{2}EC$，
∴AD∥FG，AD=FG，
∴四邊形ADGF為平行四邊形，∴AF∥DG，
∵AF?平面B′CD，DG?平面B′CD，
∴AF∥平面B′CD；
（2）解：由平面AB′E⊥平面AECD，可得B′E⊥平面ADE，
∵${S}_{△AED}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，B′E=a，
∴${V}_{A-B′ED}={V}_{B′-AED}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×a=\frac{1}{6}{a}^{3}=\frac{9}{16}$，
∴$a=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了等積法求多面體的體積，是中檔題．