Question

12．已知數列{a_n}的首項為1，S_n為數列{a_n}的前n項和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）若2a₂，a₃，a₂+2成等差數列，求a_n的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用等比數列的定義和性質，求得數列{a_n}為首項等于1、公比為q的等比數列，
（Ⅱ）根據2a₂，a₃，a₂+2成等差數列求得公比q的值，可得{a_n}的通項公式．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵S_n+1=qS_n+1 ①，
∴當n≥2時，S_n=qS_n-1+1 ②，兩式相減可得a_n+1=q•a_n，
即從第二項開始，數列{a_n}為等比數列，公比為q．
當n=1時，
∵數列{a_n}的首項為1，
∴a₁+a₂=S₂=q•a₁+1，
∴a₂ =a₁•q，
∴數列{a_n}為等比數列，公比為q．
（Ⅱ）∵2a₂，a₃，a₂+2成等差數列，
∴2a₃ =2a₂+a₂+2，∴2q²=2q+q+2，求得q=2，或 q=-$\frac{1}{2}$．
根據q＞0，故取q=2，
∴a_n=2^n-1，n∈N^*．

點評 本題主要考查等差數列、等比數列的定義和性質，以及數列的遞推公式，屬于中檔題．