Question

16．求下列各曲線的標準方程．
（1）實軸長為12，離心率為$\frac{2}{3}$，焦點在x軸上的橢圓；
（2）圓心為點C（8，-3），且過點A（5，1）求圓的標準方程；
（3）已知拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-$\frac{1}{4}$，求拋物線的標準方程；
（4）已知雙曲線的焦點在x軸上，且過點（$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，$\sqrt{2}$），求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓的標準方程，利用實軸長為12，離心率為$\frac{2}{3}$，即可求得幾何量，從而可得橢圓的標準方程；
（2）根據圓心坐標與半徑，可直接寫出圓的標準方程；
（3）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），根據題意建立關于p的方程，解之可得p=$\frac{1}{2}$，得到拋物線方程；
（4）設雙曲線方程為mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），代入點$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，$\sqrt{2}$），可得方程組，求出m，n，即可求雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程為 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）
∵實軸長為12，離心率為$\frac{2}{3}$，
∴a=6，$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
∴c=4，∴b²=a²-c²=20
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1；
（2）依題意得，該圓的半徑為：$\sqrt{（5-8）^{2}+（1+3）^{2}}$=5．
所以圓的標準方程是（x-8）²+（y+3）²=25；
（3）由題意，設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），
∵拋物線的準線方程為x=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
故所求拋物線的標準方程為y²=x．
（4）設雙曲線方程為mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），
代入點$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，$\sqrt{2}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n=1}\\{\frac{5m}{3}-2n=1}\end{array}\right.$，
∴m=1，n=$\frac{1}{3}$，
∴雙曲線的標準方程為x²-$\frac{1}{3}$y²=1．

點評 本題給出拋物線的準線，求拋物線的標準方程，著重考查了拋物線的定義與標準方程的知識，考查雙曲線方程，圓的標準方程，屬于基礎題．