Question

11．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率e=$\frac{1}{2}$，且橢圓C經過點P（2，3），過橢圓C的左焦點F₁且不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A，B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求△PF₁G的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，b²=a²-c²=3c²，將點P（2，3），代入即可求得a和b的值，求得橢圓C的方程；
（2）設直線AB方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式求得M（-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$），求得MG的方程為y-=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），由x_G∈（-$\frac{1}{2}$，0），${S}_{P{F}_{1}G}$=$\frac{1}{2}$丨F₁G丨•丨y_P丨=$\frac{3}{2}$丨x_G+2丨，即可求得△PF₁G的面積S的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
b²=a²-c²=3c²，
將P（2，3）代入橢圓方程：$\frac{4}{4{c}^{2}}+\frac{9}{3{c}^{2}}=1$，解得：c²=4，
∴a²=16，b²=12，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）設直線AB方程為y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（x₀，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（3+4k²）x²+16k²x+16（k²-3）=0，
由△＞0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=-$\frac{16（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$，
M（-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$），
線段AB的垂直平分線MG的方程為y-=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{6{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{2}{4+\frac{3}{{k}^{2}}}$，
由k≠0，
∴-$\frac{1}{2}$＜x_G＜0，
由${S}_{P{F}_{1}G}$=$\frac{1}{2}$丨F₁G丨•丨y_P丨=$\frac{3}{2}$丨x_G+2丨，x_G∈（-$\frac{1}{2}$，0），
∴S求△PF₁G的面積的取值范圍是（$\frac{9}{4}$，3）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．